高等数学习题作业，在这里完成。不保证正确率，但是一定是自己独立完成的。

习题8.5

1. 按下列条件求平面方程：
 (1) 过点$(2,1,3)$,且与平面$3x-2y+z+1=0$平行；
 (2) 过三点$(1,2,-1)$,$(3,0,2)$,$(2,-3,4)$；
 (3) 过点$(1,0,-1)$,且平行于向量$\vec a=(2,1,1)$与$\vec b=(1,-1,2)$；
 (4) 过点$(1,-2,1)$,且垂直于两平面$x-2y+1=0$与$x+y-z+3=0$.

 解：
 (1):  因为平面与$3x-2y+z+1$平行，故设平面方程为$3x-2y+z+D=0$ ;
  又因为平面过点$(2,1,3)$代入上式得该平面方程为：$$3x-2y+z-7=0.$$
 (2):  由题意设三点分别为$M_1,M_2,M_3$，所求平面的法向量为$\vec n$.由题：
  $\vec n$与$\overrightarrow {M_1M_2},\overrightarrow {M_1M_3}$都垂直，而$$\overrightarrow {M_1M_2}=(2,-2,3),\overrightarrow {M_1M_3}=(1,-5,5)$$  所以可取：$$\vec n=\overrightarrow {M_1M_2}\times\overrightarrow {M_1M_3}=
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j &\vec k \\
2 & -2 & 3 \\
1&-5&5 \\
\end{vmatrix}=5\vec i-7\vec j-8\vec k$$  所求平面方程为：$$5(x-1)-7(y-2)-8(z+1)=0$$  即：$$5x-7y-8z+1=0$$
 (3):  由题意：$$\vec a \times \vec b=
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j &\vec k \\
2 & 1 & 1 \\
1&-1&2 \\
\end{vmatrix}=3\vec i-3\vec j-3\vec k$$  又 $\because$该平面过点$(1,0,-1)$ , $\therefore$平面方程为：$$x-y-z-2=0$$
 (4):  设所求平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$，由题意得：$$
\begin{cases}
A-2B+C+D=0 \\
A-2B=0\\
A+B-C=0
\end{cases}$$  解得该平面的平面方程为$$2x+y+3z-3=0$$

2. 按下列条件求平面方程：
 (1) 平行于$xOz$面，且过点$(2,3,5)$；
 (2) 通过$y$轴和点$(3,1,2)$；
 (3) 过两点$(4,-1,-2),(5,1,7)$，且平行于$z$轴.

 解：
 (1):  $\because$ 该平面平行于$xOz$面，$\therefore$设平面方程为$$y+D=0,$$  将$(2,3,5)$代入得平面方程为：$$y=3.$$
 (2):  由题意设平面方程为$$x+Cz=0,$$  将$(3,1,2)$代入，得方程为：$$2x-3z=0.$$
 (3):  因为所求平面平行于$z$轴，所以设平面方程为$$Ax+By+D=0.$$  将两个已知点代入上式得$$
\begin{cases}
4A-B+D=0 \\
5A+B+D=0
\end{cases}$$  解得$B=-\frac{A}{2},D=-\frac{9}{2}A.$代入所设平面并除以$-\frac{A}{2}(A\neq 0)$, 得所求平面方程为$$2x-y-9=0.$$

3.求过原点距离为3，且平行于平面$x+2y+4z+7=0$的平面方程.

 解：
  设平面方程为$x+2y+4z+D=0,$$$d=\frac{|D|}{\sqrt{1^2+2^2+4^2}}=3$$  得$D=\pm 3\sqrt{21}$,所以平面方程为$$x+2y+4z\pm 3\sqrt{21}=0$$.

4.求过两点$(2,4,1)$与$(2,3,2)$,且与$xOy$面成$\frac{\pi}{3}$角的平面方程.

 解：
  设所求方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$  由题得：$$
\begin{cases}
2A+4B+C+D=0\\
2A+3B+2C+D=0
\end{cases}$$
  其法向量为$\vec n=(A,B,C)$，又$xOy$法向量为$\vec k=(0,0,1)$,所以，$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{|\vec n \cdot\vec k|}{|\vec n||\vec k|}=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{1}{2}$$$$\therefore A^2+B^2=3C^2$$  联立三个式子解得$B=\pm \frac{A}{\sqrt{2}},C=\pm \frac{A}{\sqrt{2}},D=-\frac{4+5\sqrt{2}}{2}A$.
  故所求平面方程为：$$\sqrt{2}x+y+z-2\sqrt{2}-5=0$$  或$$-\sqrt{2}x+y+z+2\sqrt{2}-5=0$$

5.一平面平行于平面$2x+3y+6z+5=0$,且与三坐标面围成的四面体的体积为1，求该平面方程。

 解：
  设该平面方程为$2x+3y+6z=D$.
  同除以$D$，得：$$\frac{x}{\frac{D}{2}}+\frac{y}{\frac{D}{3}}+\frac{z}{\frac{D}{6}}=1$$  由题得$$\left| \frac{1}{3}\left(\frac{D}{2}\cdot\frac{D}{3}\cdot\frac{D}{6}\right)\right|=1$$  得$|D^3|=108, \ D=\pm6$
  所求平面方程为：$$2x+3y+6z\pm6=0$$

6.求过两点$(1,1,1)$与$(2,1,-2)$,且与原点的距离为1的平面方程.

 解：
  设所求方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$  由题得：$$
\begin{cases}
A+B+C+D=0\\
2A+B-2C+D=0
\end{cases}$$  又$$d=\frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=1$$  得$A^2+B^2+C^2=D^2$
  解得:$$
\begin{cases}
A=0,\ C=0,\ D=-B;\\
A\neq0,\ B=-\frac{A}{4},\ C=\frac{A}{3},\ D=-\frac{13}{12}A.
\end{cases}$$  $\therefore\ $所求平面方程为：$$
\begin{cases}
y=1;\\
12x-3y+4z-13=0.
\end{cases}$$

习题8.7

1. 建立球心在点$(2,-3,5)$，且通过点$(1,1,2)$的球面方程。

 解：
  球心在点$(2,-3,5)$，且通过点$(1,1,2)$，故：
$$R=\sqrt{(1-2)^2+[1-(-3)]^2+(2-5)^2}=\sqrt{26}$$  即球面方程为$$(x-2)^2+(y+3)^2+(z-5)^2=26.$$