质点运动学
今天，我们开始学习了大学物理。作为一个物理底子比较薄的人，我有必要
所谓运动学，就是研究物体在位置变动时的轨迹以及位移、速度、加速度等物理量随时间变化的关系。
§ 参考系和坐标系 质点
参考系
定义：
参考系（又称参照系、参考坐标），在物理学中指用以测量并纪录位置、定向以及其他物体属性的坐标系；或指与观测者的运动状态相关的观测参考系；又或同指两者。
描述：
在观察或者描述某个物体运动状态的时候，往往由于观测所处的状态不同，而形成不同的描述：
e.g: 路上的人看火车是运动的，但火车上的旅客看火车是静止的。
参考系的选取：
原则上是任意的，但往往要根据问题，尽可能考虑问题的特征，尽量使运动的描述简单。
例1：
一首歌的歌词中这样唱道：小小竹排江中游，巍巍青山两岸走。两句分别选取什么为参考系？
解：第一句中选取地面为参考系，第二句中选择竹排为参考系。
注: 参考系分为惯性参考系和非惯性参考系。
坐标系
选好参考系，就需要在参考物上建立一个固定的坐标系了。
分类：
坐标系有平面的、立体的、极坐标、球坐标、柱坐标等，但常见的坐标系还数直角坐标系(笛卡尔坐标系)、极坐标系和自然坐标系(本征坐标系)了。
直角坐标系：三个方向的单位矢量分别用$\vec i$,$\vec j$,$\vec k$表示出来。
运动轨迹方程：$y=f(x)$
微观粒子并没有确定的轨道，由粒子在空间出现的概率来表示。
极坐标系：$t$时刻质点的位置可以表示为：
运动轨迹方程：$r=f(\theta)$
由几何关系可得直角坐标系和极坐标系之间的关系：
自然(本征)坐标系：是随时间变动的坐标系，不能用来描述质点在空间所处的位置，但适合在某些情况下表示质点的速度和加速度。
质点
定义：
质点是一个有质量的点，在动力学中常用来代替物体。质点是一个物理抽象，也是一个理想化模型。
关于：
- 无体积、无形状，而
只是具有质量的几何点； - 是一种
理想化的模型； - 要视研究问题而建立；
- 不是一成不变的。
§ 描述质点运动的物理量
位置矢量
定义：
位置矢量(位矢) 从坐标原点指向质点所在位置的矢量称为位置矢量。
如图，建立空间直角坐标系，运动的质点$P$的位置用三个坐标$x$,$y$,$z$来确定，或用有向线段$\vec {OP} = \vec r$来表示————称为位置矢量。
$$\vec r = x \vec i + y \vec j + z \vec k$$
$\vec r$的大小为:
$$|\vec r|= r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
$\vec r$的方向由其与三个坐标轴的夹角的余弦确定：
$$\cos \alpha = \frac{x}{r}, \cos \beta = \frac{y}{r}, \cos \gamma = \frac{z}{r}$$
质点的运动方程/参数方程
$$\begin{cases}
x=x(t)\\
y=y(t)\\
z=z(t)\\
\end{cases}
$$
或
$$\vec r = \vec r(t).$$
位移
定义：
位移（displacement）用位移表示物体(质点)的位置变化。 定义为：由初位置到末位置的有向线段。 其大小与路径无关，方向由起点指向终点。 它是一个有大小和方向的物理量，即矢量。
描述：
如图所示，某一质点在空间移动，沿一曲线（$\varDelta t$内）由$A$点移到$B$点，设$A$、$B$两点的位置矢量分别为$\vec r_A$及$\vec r_B$。
在$\varDelta t$时间内质点位置变化可用有向线段$\vec {AB}$来表示，利用矢量合成的平行四边形法则，可得$\vec {r_B} =\vec {r_A} + \overrightarrow{AB},$则$\overrightarrow{AB} = \vec {r_B} -\vec {r_A}$。即位移矢量为末位置矢量与初位置矢量的差，或在$\varDelta t$时间内质点位置矢量$\vec r$的增量，用$\varDelta \vec r$表示为
$$ \varDelta \vec r = \overrightarrow{AB} = \vec {r_B} -\vec {r_A} $$
速度
如图所示，设质点在$\varDelta t$时间内由$A$点沿曲线运动到$B$点。
平均速度
$$\overline{ \vec v}=\frac{ \overrightarrow{AB} }{ \varDelta t}=\frac{ \varDelta \vec r }{ \varDelta t }$$
(1) 大小：$|\vec v|=\frac{|\varDelta \vec r|}{\varDelta t}$;
(2) 方向：与位移$\varDelta \vec r$方向一致。
瞬时速度
$$\vec v = \lim_{\varDelta t \rightarrow 0} \frac{\varDelta \vec r}{\varDelta t} = \frac{d \vec r}{dt}$$
其方向沿质点运动所在点处曲线的切线，并沿质点前进的方向。
由$\vec r=x\vec i+y\vec j+z\vec k$，可以得到其在直角坐标系中的分量形式：
$$\vec v =\frac{d\vec r}{dt}=\frac{dx}{dt} \vec i+\frac{dy}{dt} \vec j+\frac{dz}{dt} \vec k=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k$$
速度的大小：
$$v=|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$
平均速率*
$$\overline{v}=\frac{\varDelta s}{\varDelta t}$$
注：质点环行一周，$\overline {\vec v}=0 \neq \overline{v} $
瞬时速率
$$v = \lim_{\varDelta t \rightarrow 0} \frac{\varDelta s}{\varDelta t}=\frac{ds}{dt}$$
在$\varDelta t \rightarrow 0$的情况下，$\stackrel{ \Large \frown }{ AB }$长度$\varDelta s$与线段$AB$长度$|\varDelta \vec r|$近似相等，即
$$v=\lim_{\varDelta t \rightarrow 0}\frac{\varDelta s}{\varDelta t}=\frac{ds}{dt}=\lim_{\varDelta t \rightarrow 0}\frac{|\varDelta \vec r|}{\varDelta t}=|\vec v|$$
Sample Problem：
A rabbit runs across a parking lot on which a set ofcoordinate axes has, strangely enough, been drawn. The coordinates(meters) of the rabbit’s position as functions of time t (seconds) are given by
$$x–0.31t^2+7.2t+28$$
and$$y=0.22t^2-9.1t+30$$
加速度
在$t$时刻，质点在$A$点，速度为$v_A$;在$t+\varDelta t$时刻，质点在$B$点，速度为$v_B$，由矢量合成可见，在$\varDelta t$时间内质点的速度增量$\varDelta v = v_B-v_A$.
平均加速度
$$\overline{\vec a}=\frac{\varDelta \vec v}{\varDelta t}$$
反映在$\varDelta t$内速度的平均变化率。
瞬时加速度
（未完待续）